PDF Bài tập toán cao cấp 1 chương 1 và chương 2 có lời giải

PDF Bài tập toán cao cấp 1 chương 1 & chương 2 có lời giải năm 2025

⚠ Đây KHÔNG PHẢI đề thi chính thức các năm.

📩 Tài liệu dạng file mềm PDF/Word – dùng để luyện tập theo dạng câu hỏi, độ khó có thể khác đề thi thật

🎥 Xem video demo bộ đề trong phần mô tả bên dưới trước khi thanh toán (một số SP chưa có đang trong quá trình biên soạn).

📩 File PDF/Word gửi qua email trong ngày (thường 5–60 phút trong giờ làm việc) sau khi thanh toán.

129.000 ₫

Danh mục: Tài liệu Ôn thi Toán cao cấp 1

Mô tả

⚠ Tài liệu được tailieuonthi.io.vn biên soạn độc lập nhằm mục đích luyện tập và tham khảo, không phải đề thi chính thức từ các đơn vị tổ chức kỳ thi nên độ khó có thể khác đề thi thật.

Tải PDF Bài tập Toán cao cấp 1 – Chương 1 & Chương 2 có lời giải (Năm 2025) – Khởi đầu vững chắc cùng Tài liệu ôn thi – Tailieuonthi.io.vn!—
LƯU Ý QUAN TRỌNG TỪ Tài liệu ôn thi – Tailieuonthi.io.vn:

Tài liệu ôn thi – Tailieuonthi.io.vn KHÔNG PHẢI LÀ ĐƠN VỊ TỔ CHỨC THI HAY ĐÁNH GIÁ TRỰC TIẾP. Chúng tôi là một nền tảng chuyên cung cấp tài liệu ôn luyện và kiến thức nhằm hỗ trợ học sinh, phụ huynh và giáo viên tự học, tự luyện tập một cách hiệu quả nhất.
Chúng tôi cam kết cung cấp các tài liệu chất lượng cao, được **biên soạn và tổng hợp dựa trên chuẩn kiến thức của chương trình Đại học hiện hành của Bộ Giáo dục và Đào tạo**, bám sát nội dung và định hướng kiến thức trọng tâm của môn học.
**Tài liệu Bài tập Toán cao cấp 1 – Chương 1 & Chương 2 (và các tài liệu ôn tập) được Tailieuonthi.io.vn biên soạn độc lập** dựa trên tổng hợp các dạng đề, cấu trúc phổ biến của các trường đại học tại Việt Nam trong giai đoạn 2020-2024 và dự kiến 2025 nhằm mục đích hỗ trợ sinh viên rèn luyện kỹ năng giải quyết các dạng bài thi. Mặc dù được xây dựng bám sát chương trình chuẩn, đây **không phải là đề thi chính thức hay đề cương chính thức do Bộ GD&ĐT hay bất kỳ trường đại học nào ban hành**. Sinh viên cần kết hợp tài liệu này với giáo trình và đề cương của trường mình (nếu có) để đạt hiệu quả tốt nhất.
**Chúng tôi không cam kết tài liệu này sẽ “trúng đề”, “trúng tủ” hay đảm bảo điểm số tuyệt đối.** Mục tiêu của tài liệu là cung cấp một công cụ ôn tập hiệu quả, giúp sinh viên hệ thống hóa kiến thức, làm quen với dạng đề thi và nâng cao khả năng giải bài tập, từ đó tự tin hơn khi bước vào phòng thi.

PDF Bài tập toán cao cấp 1 chương 1 và chương 2 có lời giải

Chương 1 (Tập hợp, Ánh xạ, Số thực, Số phức) và Chương 2 (Giới hạn và Hàm số liên tục) là hai chương đầu tiên và là nền tảng cực kỳ quan trọng của môn Toán cao cấp 1 (hay Toán A1). Nắm vững kiến thức và thành thạo các dạng bài tập của hai chương này sẽ tạo đà thuận lợi cho các phần kiến thức sau và giúp bạn tự tin trong các kỳ thi. Để hỗ trợ bạn tối đa, Tài liệu ôn thi – Tailieuonthi.io.vn đã biên soạn **PDF Bài tập Toán cao cấp 1 – Chương 1 & Chương 2 có lời giải năm 2025**.

Tài liệu này tập trung chuyên sâu vào các dạng bài tập quan trọng nhất của hai chương đầu tiên, với lời giải chi tiết, giúp bạn dễ dàng tự học, tự luyện và khắc phục triệt để những lỗ hổng kiến thức. Đây là khởi đầu hoàn hảo cho hành trình chinh phục điểm A+ môn Toán cao cấp 1!

Bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu liên quan khác của chúng tôi:

—

Mục lục

Cấu trúc đề thi Toán cao cấp 1 thường có ở các trường đại học

Các chương 1 và 2 của Toán cao cấp 1 thường xuất hiện với tần suất cao và chiếm tỷ trọng điểm đáng kể trong các đề thi giữa kỳ và cuối kỳ. Việc nắm chắc các dạng bài ở hai chương này là cực kỳ quan trọng.

1. Hình thức thi phổ biến:

Giống như toàn bộ môn học, các bài tập trong Chương 1 và Chương 2 có thể xuất hiện dưới các hình thức:

**Tự luận:** Yêu cầu trình bày chi tiết các bước giải bài toán số phức, tính giới hạn phức tạp, hoặc chứng minh tính liên tục/gián đoạn của hàm số.
**Trắc nghiệm:** Kiểm tra nhanh khả năng tính toán các phép toán số phức, xác định giới hạn cơ bản, hoặc nhận diện điểm gián đoạn.
**Kết hợp:** Thường là các bài trắc nghiệm nhỏ về số phức và một bài tự luận lớn về giới hạn hàm số.

2. Phạm vi kiến thức trọng tâm và dạng bài tập tương ứng của Chương 1 & Chương 2:

Tài liệu này tập trung vào các dạng bài sau, là những nội dung gần như chắc chắn sẽ xuất hiện trong đề thi:

Chương 1: Tập hợp, Ánh xạ, Số thực, Số phức
- Số phức:
  - Chuyển đổi giữa các dạng: Đại số ($a+bi$), lượng giác ($r(\cos\phi + i\sin\phi)$), mũ ($re^{i\phi}$).
  - Các phép toán cơ bản: Cộng, trừ, nhân, chia số phức.
  - Lũy thừa số phức: Áp dụng công thức Moivre ($z^n = r^n(\cos n\phi + i\sin n\phi)$).
  - Khai căn bậc n của số phức: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $w^n = z$.
  - Giải phương trình: Phương trình bậc hai với hệ số thực, phương trình với hệ số phức.
Chương 2: Giới hạn và Hàm số liên tục
- Giới hạn của dãy số: Tính giới hạn của các dãy số đơn giản.
- Giới hạn của hàm số:
  - Tính giới hạn các dạng vô định: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$, $\infty – \infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$.
  - Các phương pháp khử vô định:
    - Đại số: Chia tử mẫu cho lũy thừa cao nhất, nhân liên hợp, rút gọn.
    - Sử dụng các giới hạn cơ bản: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1$, v.v.
    - Vô cùng bé (VCB) và Vô cùng lớn (VCL) tương đương: Đây là công cụ cực kỳ mạnh mẽ để giải nhanh các bài giới hạn phức tạp.
    - Quy tắc L’Hopital: Áp dụng cho các dạng $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$.
- Hàm số liên tục:
  - **Xét tính liên tục tại một điểm:** Kiểm tra điều kiện $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
  - **Xác định điểm gián đoạn:** Tìm các điểm mà hàm số không liên tục.
  - **Xác định tham số để hàm số liên tục:** Bài toán tìm giá trị của tham số để hàm số liên tục trên toàn miền xác định hoặc tại một điểm cụ thể.

Tài liệu bài tập này được biên soạn bám sát các dạng bài trọng tâm trên, giúp bạn ôn luyện có định hướng.

📘 Toán cao cấp A1, A2: Tài liệu tóm tắt lý thuyết, bài tập có lời giải.

📗 Vật lý đại cương: File tổng hợp công thức, chuyên đề trắc nghiệm – tự luận.

📙 Hóa đại cương: Bài giảng PDF, đề thi có đáp án từ các trường Bách Khoa, Sư Phạm Kỹ Thuật.

📕 Triết học Mác – Lênin: 30 đề ôn tập, dạng câu hỏi trắc nghiệm và tự luận, có lời giải gợi ý.

📘 Tư tưởng Hồ Chí Minh: Tổng hợp 20 chủ đề thường thi, bám sát đề thi các trường khối Công – Sư Phạm. =

📗 Kinh tế chính trị: File ôn tập, sơ đồ tư duy, đề cương câu hỏi tự luận. =

📙 Pháp luật đại cương: Câu hỏi trắc nghiệm ôn thi cuối kỳ, tổng hợp 12 chương.

📕 Anh văn A1, A2: Tài liệu luyện thi chứng chỉ tiếng Anh chuẩn CEFR, có file nghe.

—

Mẹo ôn tập Toán cao cấp 1 – Chương 1 & Chương 2 đạt tín chỉ A+

Việc làm chủ hai chương đầu tiên của Toán cao cấp 1 là yếu tố then chốt để đạt điểm cao. Dưới đây là những mẹo ôn tập hiệu quả với tài liệu bài tập có lời giải của chúng tôi:

Thành thạo công thức và khái niệm gốc:
- Đối với Chương 1 (Số phức): Nắm chắc công thức Moivre, cách chuyển đổi giữa các dạng và các phép toán cơ bản. Đây là nền tảng để giải các bài tập khó hơn.
- Đối với Chương 2 (Giới hạn): Học thuộc lòng các giới hạn cơ bản và bảng VCB/VCL tương đương. Hiểu rõ khi nào và cách áp dụng quy tắc L’Hopital.
- Tài liệu của chúng tôi đã tóm tắt lý thuyết và cung cấp đầy đủ các công thức cần thiết.
Luyện tập từng dạng bài một cách có hệ thống:
- Tài liệu này đã phân chia bài tập theo từng dạng cụ thể. Hãy giải lần lượt từng dạng, từ dễ đến khó.
- Sau khi giải xong một bài, hãy đối chiếu ngay với lời giải chi tiết. Đừng chỉ nhìn đáp án, mà hãy hiểu từng bước giải quyết vấn đề.
- Nếu gặp lỗi, hãy quay lại xem xét lý thuyết hoặc công thức liên quan.
Tập trung vào các kỹ thuật giải giới hạn:
- Các bài tập về giới hạn thường chiếm tỷ trọng lớn. Hãy luyện tập kỹ các dạng vô định và các phương pháp khử vô định (đặc biệt là VCB/VCL tương đương và L’Hopital).
- Thử giải một bài giới hạn bằng nhiều cách khác nhau (nếu có thể) để so sánh và tìm ra phương pháp hiệu quả nhất.
Ghi chép và tổng hợp những lỗi sai thường gặp:
- Tạo một cuốn sổ tay nhỏ để ghi lại những lỗi sai bạn thường mắc phải (ví dụ: nhầm lẫn dấu, áp dụng sai công thức, quên điều kiện).
- Ghi lại các bài tập khó, phức tạp hoặc có cách giải độc đáo để ôn lại nhiều lần.
Luyện tập với thời gian:
- Khi đã nắm vững các dạng bài, hãy thử giải một nhóm bài tập hoặc một phần đề thi (nếu có) trong thời gian giới hạn để rèn luyện tốc độ và khả năng chịu áp lực thi cử.
- Điều này giúp bạn quen với nhịp độ làm bài và tránh bị lúng túng trong phòng thi.

—

Trích dẫn một phần từ PDF Bài tập Toán cao cấp 1 – Chương 1 & Chương 2 có lời giải (Năm 2025)

Dưới đây là một phần trích dẫn từ tài liệu của chúng tôi, bao gồm một bài tập về Số phức và một bài về Giới hạn, kèm theo lời giải chi tiết:

TRÍCH DẪN BÀI TẬP & LỜI GIẢI

CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC

Bài tập 1.2: Tìm tất cả các căn bậc ba của số phức $z = -8i$.

Lời giải:

Để tìm căn bậc ba của $z = -8i$, chúng ta sẽ chuyển $z$ về dạng lượng giác, sau đó áp dụng công thức khai căn.

1. Chuyển $z = -8i$ về dạng lượng giác:

Modul: $|z| = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = \sqrt{64} = 8$.
Argument: $z = -8i$ nằm trên trục ảo âm. Do đó, $\arg(z) = -\frac{\pi}{2}$ hoặc $\frac{3\pi}{2}$. Ta chọn $\phi_0 = \frac{3\pi}{2}$.
Vậy, $z = 8 \left( \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \right)$.

2. Áp dụng công thức khai căn bậc ba:

Các căn bậc ba của $z$ có dạng $w_k = \sqrt[3]{|z|} \left( \cos\left(\frac{\phi_0 + 2k\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\phi_0 + 2k\pi}{3}\right) \right)$, với $k = 0, 1, 2$.

Ở đây $\sqrt[3]{|z|} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Với $k = 0$:$w_0 = 2 \left( \cos\left(\frac{3\pi/2 + 0}{3}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi/2 + 0}{3}\right) \right)$
$w_0 = 2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) = 2(0 + i \cdot 1) = 2i$.
Với $k = 1$:$w_1 = 2 \left( \cos\left(\frac{3\pi/2 + 2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi/2 + 2\pi}{3}\right) \right)$
$w_1 = 2 \left( \cos\left(\frac{7\pi/2}{3}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi/2}{3}\right) \right) = 2 \left( \cos\left(\frac{7\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) \right)$

$w_1 = 2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} – i \frac{1}{2} \right) = -\sqrt{3} – i$.
Với $k = 2$:$w_2 = 2 \left( \cos\left(\frac{3\pi/2 + 4\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{3\pi/2 + 4\pi}{3}\right) \right)$
$w_2 = 2 \left( \cos\left(\frac{11\pi/2}{3}\right) + i \sin\left(\frac{11\pi/2}{3}\right) \right) = 2 \left( \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) \right)$

$w_2 = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} – i \frac{1}{2} \right) = \sqrt{3} – i$.

Vậy, ba căn bậc ba của $-8i$ là $2i$, $-\sqrt{3} – i$, và $\sqrt{3} – i$.

CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài tập 2.3: Tính giới hạn $L = \lim_{x \to 0} \frac{e^x – e^{\sin x}}{x^3}$.

Lời giải:

Khi $x \to 0$, tử số $e^x – e^{\sin x} \to e^0 – e^0 = 1 – 1 = 0$, mẫu số $x^3 \to 0$. Giới hạn có dạng vô định $\frac{0}{0}$.

Chúng ta sẽ sử dụng khai triển Maclaurin cho $e^u$ và $\sin x$ đến cấp 3.

Ta có khai triển:

$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \frac{u^3}{3!} + o(u^3)$
$\sin x = x – \frac{x^3}{3!} + o(x^3)$

Thay $u = \sin x$ vào khai triển của $e^u$:

$e^{\sin x} = 1 + \sin x + \frac{(\sin x)^2}{2} + \frac{(\sin x)^3}{6} + o((\sin x)^3)$

Vì $\sin x \sim x$ khi $x \to 0$, nên $o((\sin x)^3) = o(x^3)$.

Thế khai triển của $\sin x$ vào:

$e^{\sin x} = 1 + \left(x – \frac{x^3}{6}\right) + \frac{1}{2}(x – \frac{x^3}{6})^2 + \frac{1}{6}(x – \frac{x^3}{6})^3 + o(x^3)$

Để đến $x^3$, ta chỉ cần các số hạng có bậc từ 3 trở xuống.

$\left(x – \frac{x^3}{6}\right)^2 = x^2 – 2x\frac{x^3}{6} + (\frac{x^3}{6})^2 = x^2 – \frac{x^4}{3} + \frac{x^6}{36}$. Ta chỉ giữ lại $x^2$.
$\left(x – \frac{x^3}{6}\right)^3 = x^3 – 3x^2\frac{x^3}{6} + \dots = x^3 – \frac{x^5}{2} + \dots$. Ta chỉ giữ lại $x^3$.

Vậy, $e^{\sin x} = 1 + \left(x – \frac{x^3}{6}\right) + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$

$e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \left(\frac{1}{6} – \frac{1}{6}\right)x^3 + o(x^3)$

$e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3)$

Mặt khác, khai triển Maclaurin của $e^x$ đến cấp 3 là:

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$

Thay vào biểu thức giới hạn $L$:

$L = \lim_{x \to 0} \frac{\left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) – \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3)\right)}{x^3}$

$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{6} + \frac{o(x^3)}{x^3}\right)$

Vì $\lim_{x \to 0} \frac{o(x^3)}{x^3} = 0$, nên $L = \frac{1}{6}$.

Tài liệu đầy đủ sẽ bao gồm rất nhiều bài tập khác với lời giải chi tiết, giúp bạn làm chủ từng phần kiến thức.

—

Câu chuyện thành công – Vượt qua Toán cao cấp 1 tại các trường đại học khác nhau!

Việc ôn luyện đúng trọng tâm các chương đầu tiên của Toán cao cấp 1 đã giúp nhiều sinh viên có nền tảng vững chắc và đạt kết quả xuất sắc. Dưới đây là 3 câu chuyện điển hình từ các trường đại học khác nhau, minh chứng cho hiệu quả của việc sử dụng tài liệu bài tập Chương 1 & Chương 2 có lời giải của Tailieuonthi.io.vn:

1. Em Nguyễn Văn An (Đại học Bách khoa Hà Nội – HUST) – Đạt điểm A+ phần giữa kỳ

“Môn Toán cao cấp 1 ở Bách khoa thường có bài kiểm tra giữa kỳ tập trung vào Chương 1 và Chương 2. Em đã sử dụng tài liệu bài tập này để luyện tập. Các bài về số phức và giới hạn, đặc biệt là các dạng dùng khai triển Taylor và VCB tương đương, được giải rất chi tiết và dễ hiểu. Nhờ việc luyện tập sâu các dạng bài này, em đã làm rất tốt bài kiểm tra giữa kỳ và đạt A+. Điều này tạo động lực rất lớn cho em để tiếp tục học các chương sau.”

2. Em Lê Thị Mai (Đại học Kinh tế Quốc dân – NEU) – Đạt điểm A

“Em là sinh viên khối kinh tế, Toán cao cấp 1 rất quan trọng nhưng cũng là thử thách lớn. Em thường gặp khó khăn với các bài giới hạn và số phức. Tài liệu bài tập có lời giải của Tailieuonthi.io.vn đã giúp em rất nhiều. Em làm đi làm lại các bài tập trong đó, đặc biệt là phần VCB/VCL tương đương và L’Hopital. Lời giải chi tiết giúp em hiểu sâu sắc hơn về cách áp dụng công thức. Nhờ đó, em đã hoàn thành tốt bài thi cuối kỳ với điểm A, củng cố nền tảng Toán cho các môn học sau này.”

3. Em Trần Hữu Nghĩa (Đại học Giao thông Vận tải – UTC) – Đạt điểm B+

“Em học ngành kỹ thuật, nên Toán cao cấp là môn rất cần thiết. Tuy nhiên, em hay bị mắc lỗi tính toán nhỏ và quên công thức. PDF Bài tập Toán cao cấp 1 – Chương 1 & Chương 2 có lời giải là cứu cánh cho em. Em tập trung làm các bài tập trong tài liệu, và khi sai, em xem lời giải để biết mình sai ở đâu và cách sửa. Việc luyện tập lặp đi lặp lại với các bài tập đa dạng đã giúp em khắc phục được điểm yếu, từ đó em tự tin hơn và đạt được B+ cho môn này, là một kết quả tốt đối với em.”